কার্ল

একাদশ- দ্বাদশ শ্রেণি - পদার্থবিদ্যা - পদার্থবিজ্ঞান – ১ম পত্র | | NCTB BOOK

যদি কোনো স্থানের একটি এলাকায় প্রতিটি বিন্দুতে <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mover accent='true'><mi>V</mi><mo>→</mo></mover></math>(x, y, z) =<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mover accent='true'><mi>i</mi><mo>^</mo></mover><msub><mi>V</mi><mi>x</mi></msub><mo>+</mo><mover accent='true'><mi>j</mi><mo>^</mo></mover><msub><mi>V</mi><mi>y</mi></msub><mo>+</mo><mover accent='true'><mi>k</mi><mo>^</mo></mover><msub><mi>V</mi><mi>z</mi></msub></math> কে একটি অন্তরীকরণযোগ্য রাশি হিসেবে সংজ্ঞায়িত করা যায় অর্থাৎ <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mover accent='true'><mi>V</mi><mo>→</mo></mover></math> যদি একটি অন্তরীকরণযোগ্য ভেক্টর অপেক্ষক হয়, তাহলে <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mover accent='true'><mi>V</mi><mo>→</mo></mover></math>এর কার্ল

(curl <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mover accent='true'><mi>V</mi><mo>→</mo></mover></math>) বা <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mover accent='true'><mo>△</mo><mo>→</mo></mover><mo>×</mo><mover accent='true'><mi>V</mi><mo>→</mo></mover></math> এর সংজ্ঞা হলো :

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mover accent='true'><mo>△</mo><mo>→</mo></mover><mo>×</mo><mover accent='true'><mi>V</mi><mo>→</mo></mover><mo>=</mo><mfenced><mrow><mover accent='true'><mi>i</mi><mo>^</mo></mover><mfrac><mo>∂</mo><mrow><mo>∂</mo><mi>x</mi></mrow></mfrac><mo>−</mo><mover accent='true'><mi>j</mi><mo>^</mo></mover><mfrac><mo>∂</mo><mrow><mo>∂</mo><mi>y</mi></mrow></mfrac><mo>+</mo><mover accent='true'><mi>k</mi><mo>^</mo></mover><mfrac><mo>∂</mo><mrow><mo>∂</mo><mi>z</mi></mrow></mfrac></mrow></mfenced><mo>×</mo><mfenced><mrow><mover accent='true'><mi>i</mi><mo>^</mo></mover><msub><mi>V</mi><mi>x</mi></msub><mo>+</mo><mover accent='true'><mi>i</mi><mo>^</mo></mover><msub><mi>V</mi><mi>y</mi></msub><mo>+</mo><mover accent='true'><mi>i</mi><mo>^</mo></mover><msub><mi>V</mi><mi>z</mi></msub></mrow></mfenced><mspace linebreak="newline"/><mover accent='true'><mo>△</mo><mo>→</mo></mover><mo>×</mo><mover accent='true'><mi>V</mi><mo>→</mo></mover><mo>=</mo><mfenced open="|" close="|"><mrow><mfrac><mover accent='false'><mo>∂</mo><mover accent='true'><mi>i</mi><mo>^</mo></mover></mover><munder accentunder='false'><mo>∂</mo><mrow><msub><mi>V</mi><mi>x</mi></msub></mrow></munder></mfrac><mfrac><mover accent='false'><mo>∂</mo><mover accent='true'><mi>j</mi><mo>^</mo></mover></mover><munder accentunder='false'><mo>∂</mo><mrow><msub><mi>V</mi><mi>y</mi></msub></mrow></munder></mfrac><mfrac><mover accent='false'><mo>∂</mo><mover accent='true'><mi>k</mi><mo>^</mo></mover></mover><munder accentunder='false'><mo>∂</mo><mrow><msub><mi>V</mi><mi>z</mi></msub></mrow></munder></mfrac></mrow></mfenced><mo>=</mo><mfenced><mrow><mfrac><mo>∂</mo><mrow><mo>∂</mo><mi>y</mi></mrow></mfrac><mo>−</mo><mfrac><mo>∂</mo><mrow><mo>∂</mo><mi>z</mi></mrow></mfrac></mrow></mfenced><mover accent='true'><mi>i</mi><mo>^</mo></mover><mo>+</mo><mfenced><mrow><mfrac><mrow><mo>∂</mo><msub><mi>V</mi><mi>x</mi></msub></mrow><mrow><mo>∂</mo><mi>z</mi></mrow></mfrac><mo>−</mo><mfrac><mrow><mo>∂</mo><msub><mi>V</mi><mi>z</mi></msub></mrow><mrow><mo>∂</mo><mi>x</mi></mrow></mfrac></mrow></mfenced><mover accent='true'><mi>j</mi><mo>^</mo></mover><mo>+</mo><mfenced><mrow><mfrac><mrow><mo>∂</mo><msub><mi>V</mi><mi>y</mi></msub></mrow><mrow><mo>∂</mo><mi>x</mi></mrow></mfrac><mo>−</mo><mfrac><mrow><mo>∂</mo><msub><mi>V</mi><mi>x</mi></msub></mrow><mrow><mo>∂</mo><mi>y</mi></mrow></mfrac></mrow></mfenced><mover accent='true'><mi>k</mi><mo>^</mo></mover><mo>.</mo><mo>.</mo></math> ... (2.33)

কোনো ভেক্টর ক্ষেত্রের কার্ল একটি ভেক্টর রাশি। এ ভেক্টরটির দিক ঐ ক্ষেত্রের উপর অঙ্কিত লম্ব বরাবর। এটি ঐ ক্ষেত্রের ঘূর্ণন ব্যাখ্যা করে। কোনো বিন্দুর চারদিকে ভেক্টরটি কতবার ঘোরে কার্ল তা নির্দেশ করে। যদি কোনো ভেক্টরের কার্ল শূন্য হয় তবে এটি অঘূর্ণনশীল (irrotational) হবে। অর্থাৎ <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mover accent='true'><mo>△</mo><mo>→</mo></mover><mo>×</mo><mover accent='true'><mi>V</mi><mo>→</mo></mover></math>= <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mover accent='true'><mi>0</mi><mo>→</mo></mover></math> হলে <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mover accent='true'><mi>V</mi><mo>→</mo></mover></math> ক্ষেত্রটি অঘূর্ণনশীল এবং সংরক্ষণশীল আর <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mover accent='true'><mo>△</mo><mo>→</mo></mover><mo>×</mo><mover accent='true'><mi>V</mi><mo>→</mo></mover></math>= <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mover accent='true'><mi>0</mi><mo>→</mo></mover></math> হলে <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mover accent='true'><mi>V</mi><mo>→</mo></mover></math> ক্ষেত্রটি ঘূর্ণনশীল এবং অসংরক্ষণশীল । রৈখিক বেগ <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mover accent='true'><mi>v</mi><mo>→</mo></mover></math> এর কার্ল কৌণিক বেগ <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mover accent='true'><mi>ω</mi><mo>→</mo></mover></math> এর দ্বিগুণ, অর্থাৎ <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mover accent='true'><mo>△</mo><mo>→</mo></mover><mo>×</mo><mover accent='true'><mi>v</mi><mo>→</mo></mover></math> = 2<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mover accent='true'><mi>ω</mi><mo>→</mo></mover></math> । কোনো ভেক্টরের কার্লের মান ঐ ভেক্টরের ক্ষেত্রে একক ক্ষেত্রফলের উপর সর্বোচ্চ রেখা যোগজের সমান। কোনো ভেক্টর ক্ষেত্রের কার্লের ডাইভারজেন্স শূন্য অর্থাৎ (<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mover accent='true'><mo>△</mo><mo>→</mo></mover><mo>×</mo><mover accent='true'><mi>V</mi><mo>→</mo></mover></math>)= 0 l

Mark as Completed

Content added || updated By